Umur Bugay, 1941 Ankara doğumlu. 1959 Haydarpaşa Lisesi mezunu. 1964'te İstanbul Üniversitesi Edebiyat Fakültesi Sosyoloji Bölümünü bitirdi. 1962 yılında Arena Tiyatrosu'nda profesyonel oldu. 1972 yılına dek Gülriz Sururi-Engin Cezzar Tiyatrosu'nda, Halk Oyuncuları'nda Dostlar Tiyatrosu'nda, oyuncu, yönetmen, dramaturg olarak çalıştı.
1972 yılından sonra sahneden ayrıldı. Oyun yazarlığına başladı. Çoğu Devekuşu Kabare Tiyatrosu'nda sahnelenen oyunlar ve skeçler yazdı. Haneler, Reklâmlar, Taşıtlar, bunlara örnektir. 1977 yılında, İstanbul Şehir Tiyatroları'nda Bizler ve Bizler, 1983 yılında Kent Oyuncular Tiyatrosu'nda Bir Kadın Bir Erkek adlı oyunları sahneledi. 1975 yılından günümüze dek çeşitli gazete ve dergilerde, mizah ağırlıklı öyküleri ve röportajları yayınlanan Bugay, Milliyet Çocuk Dergisi'nde söyleşiler yazdı. Kirpi Çocuk adlı bir de roman denemesi vardır. 1974 yılında Atıf Yılmaz ile birlikte Yılmaz Güney'e, bir çingenenin yaşamını konu alan Cemil adlı senaryoyu yazarak sinema dünyasına girdi. 1974 yılından sonra yine Atıf Yılmaz'ın yönettiği, Hasip ile Nasip, Deli Yusuf, İşte Hayat, adlı fimlerin senaryolarını yazdı. Ertem Eğilmez'in, Rıfat Ilgaz'ın Hababam Sınıfı adlı kitabından sinemaya uyarladığı filmlerin senaryosunun ilki de onundur. 1976 yılında, İşte Hayat adlı senaryosu ile, 1978 yılında Çöpçüler Kralı adlı senaryosu Antalya Film Şenliği'nde 'En İyi Özgün Senaryo' ödüllerini kazandı.
1977 yılından günümüze Zeki Ökten ile yönetmen, senarist işbirliği içinde olan Bugay Kapıcılar Kralı, Çöpçüler Kralı, Pisi Pisi, Yoksul, Davacı ve Düttürü Dünya adlı senaryoları yazdı. Aynı yıllarda Memduh Ün'ün yönettiği Postacı, Zeki Alasya'nın yönettiği Aslan Bacanak adlı filmlerin senaryolarını da yazan Umur Bugay'ın, 1988 yılında yazmaya başladığı Bizimkiler adlı televizyon dizisi günümüzde de sürmekte. Dizi 2002'de 15inci sezonun sonunda yayından kaldırıldı. Umur Bugay, 40 bölümlük Yazlıkçılar adlı TV dizisini de yazdı. Saygılar Bizden, Oğlum Adam Olacak, Komşu Komşu, Koltuk Sevdası TV dizilerinin ve 2000 yılında sahnelenen Oğlum Adam Olacak adlı müzikli oyunun dramaturgluğunu yaptı. Duruşma adlı filmin senaryosu son çalışmaları arasında yer aldı. Son günlerde yeni mizah öyküleri ile çekim hazırlıkları yapılan Rus Gelin adlı komedi filminin senaryosunu yazan Umur Bugay, evli ve iki çocuk babası.